此外，在这个练习和其他练习中，我不使我的学生只觉得他一个人好玩。我希望我能继续不断地同他一块儿分享乐趣，使他觉得这种练习更有兴味。除我以外，我不希望再有别人同他竞争，但是我这个竞争者，对他是并无妨害的，因此可以使他练习的时候很有兴趣，而不至于在我们之间造成猜疑。我也照他那个样子拿着铅笔，起初也象他那样不会使用。我想做一个阿贝尔，可是我发现我却画得很糟糕。我开始画一个人，同小孩子在墙上画的人是一样的；每个胳臂画一笔，每条腿也是画一笔，十根指头画得比胳臂还粗。过了很久以后，我们两人都看出了这种不相配称的情形；我们发现一条腿要粗一些，但是粗的程度并不是到处都是一律的；胳臂的长度应当同身体成比例，等等。在这样的进度中，我不是同他一块儿前进，便只是走得比他稍稍快一点点，以至使他容易追上我，而且往往还超过了我。我们有颜色和画笔；我们试着描画各种东西的色彩、面貌和状态。我们着色，我们绘图，我们随随便便地画，但在随随便便地画的时候，我们要不断地观察自然；除了大自然这位老师眼前的东西以外，其他的东西我们一概不画。
　　我们从前担心没有什么东西装饰我们的房间，而现在，你瞧，什么都有了。我们用框子把我们的图画装起来，并罩上很好的玻璃，以免谁再去动它；我们两个人看见这样放置图画，心里都想，不要忘了把自己的图画也这样放上去。我依次把它们挂在房间的四面墙上，每一幅画都要反复画二十到三十次，以便从每一张画中看出作者的进度：开头画的房子只不过是一个简单的四方形，而现在，它的正面、侧面、比例大小和影子，都画得非常逼真。这样逐步提高，使我们继续不断地获得了许多有趣的图画，这些图画，在旁人看来颇以为奇，而在我们，则可鼓励我们经常地互相竞赛。我给我们最初画的那几幅最简单的图画装上亮晃晃的金边框子，以便使它们看起来比较美观；但是，当我们照着实物画得越来越象，而且确实是画得很好的时候，我反而只给它装一个简单的黑色框子，因为它本身已经很美，不再需要别的装饰，而且，要是让框子分去了人们对图画应有的注意，那是一项损失。所以，我们每一个人都以得到简朴的框子为荣；当一个人看不起另一个人的图画时，就说应该给它装上金框子。也许，几天以后，这些金框子就在我们之间成了笑柄，而且，我们也希望许多人都采用这种按图画的好坏装配框子的办法去评判他们自己的装饰。
　　我已经说过，几何学是不能被孩子们所理解的；但推究其原因，只能怪我们做得不对。我们没有认识到他们的方法和我们的方法不同，没有认识到几何学对我们可培养推理的熟练，而对他们则只能培养观察的熟练。所以，我们不要拿我们的方法去教他们，而要拿他们自己的方法去教；这样做更好些，因为我们学习几何学的时候，是把它当作一件既是推理的也是想象的事情的。当一项定理提出以后，就要去想象怎样论证，也就是说，要找出这个定理是根据哪一个已知的定理得出来的，并且在那个定理得出来的种种结论中去确切地选择它所需要的结论。
　　这样做法，即使是最谨严的推理家，如果他没有创造的才能的话，也马上会束手无策的。其结果怎样呢？结果，论证的方法不是由我们自己去找，而是由他口头讲给我们听；老师不是在教我们推理，而是在替我们推理，只是把我们的记忆力练习一下罢了。
　　画一些很准确的图形，把它们拼起来，一个一个地重叠起来，研究一下它们的关系；这样，你无须讲什么定义、命题或任何论证的方法，只简简单单地把图重叠起来，反复观察，就可以学会全部初等几何学。至于我，我是不想教爱弥儿几何学的，相反地，要由他来教我；由我寻找那些关系，而他则发现那些关系，因为我在寻找那些关系时，采用了使他能够发现那些关系的方法。例如画圆周的时候，我不用圆规，而用一根线一端系一个笔尖，另一端系在一个轴上转一个圈。画好以后，我就把一个个的半径加以比较，这时候，爱弥儿就会笑我，就会告诉我说，如果把那根线老是画得那么紧的话，是不至于画出不相等的半径的。
　　如果我要量一个六十度的角，我便以这个角的顶点为中心，画一个整个的圆形而不画一个弧形；因为，对孩子们是不能采取什么不言自明的含蓄作法的。我发现这个角的两条线间切取的那一部分圆是整个圆形的六分之一。画完以后，我又以这个角顶为中心画一个比较大的圆，我发现这第二个弧形仍然是它的圆形的六分之一。我又画第三个同心圆，我在这个圆上又做了同样的试验，终于使爱弥儿对我这种愚蠢的做法大吃一惊，于是就告诉我说，这个角所切取的每一个弧，不论大小，都是圆形的六分之一，等等。这样一来，我们马上就懂得半圆规的用法了。
　　为了证明三角形三角之和等于二直角，别人是画一个圆来证明；而我则相反，我先使爱弥儿在圆周内看出这一点，然后对他说：“如果把圆周去掉，留下这几条直线，这几个角的大小变没有变呢？”等等。
　　一般人对作图的准确性是不大注意的，认为可以假定它是准确的，因此，就把他们的注意力集中于怎样证题。我们的做法则相反，我们所关心的，不是怎样证法；我们认为最重要的是，画线要画得很直，很准确，很均匀；画方就方，画圆就圆。为了证明图是不是画得精确，我们就用所有一切可以觉察得到的特征去检验它；这样，就使我们每天都有发现一些新特征的机会。我们按一条直径把一个圆摺成两个半圆；按对角线把一个正方形摺成两半：我们把两个图形加以比较，检查哪一个图的边摺得最准确，因而把那个图分得最好；我们要讨论一下在平行四边形和不等边四边形中是不是也能够分得这样平均，等等。我们有时候在没有做试验以前就要预言一下是否能做得成功，并且要尽量找出其中的道理，等等。
　　对我的学生来说，几何学只不过是一门怎样掌握使用尺子和圆规的艺术；千万不要把它跟图画混同起来，他在画图画的时候是不用这两种器具的。应当把尺子和圆规都锁起来，不要轻易给他使用，而且，即使使用，用的时间也要很短，以免他习惯于拿它们去乱画；我们可以在散步的时候把我们所画的图带在身上，好谈谈我们应该怎样画或者我们打算怎样画。
　　我永远也不会忘记这件事情：我在都灵看见过一个年轻人，他小时候，老师每天拿出许多各种各样几何形状的奶油薄饼，叫他把其中等周形的薄饼都挑选出来，想通过这个办法教他学会周长和面的关系。因此，这个小小的贪吃鬼就把阿基米得的艺术做了一番透澈的研究，以便去寻找可以多吃几口的饼。
　　小孩子玩羽毛球，可以锻炼他的眼睛看得准，手打得稳；他抽陀螺，可以增长他的气力，但是他不能从其中学到什么东西。我有时候问人家，为什么不给孩子们玩大人所玩的需要技巧的游艺，例如网球、槌球、台球、射箭和足球。他们回答我说，在这些游艺当中，有些是他们的体力玩不了的，而另外一些，由于他们的五官和四肢发育不够，所以还不能玩。我认为，这些理由是不对的，这无异是说，一个孩子没有大人那样的身材，就不能穿大人那样的衣服。我的意思并不是要他们拿我们玩的大棍子到一个三Ц叩奶ㄗ由先ゴ虻子，也不是要他们到我们的运动室去打台球，或者要他们的小手使用网球拍子；我的意思是要他们在一个大厅里玩，大厅的窗子可以用东西挡起来，叫他们在里面先只玩软球，按他们的进度开始用木拍子，然后用皮拍子，最后才用肠线绷的拍子。你认为他们最好是玩羽毛球，因为它不那么使人疲劳，而且也没有危险。你这两个理由都是错误的。羽毛球是妇女们玩的东西；没有哪一个妇女见到皮球滚来时不逃跑的。她们白嫩的皮肤经不住撞擦，她们的脸不能打伤。可是我们，生来就是要成为身强力壮的人的，难道说不吃一些苦就能成为这样的人吗？如果从来没有受过打击，又凭什么力量去抵抗打击呢？老是那样有气无力地玩，即使是笨一点的话，也不会出岔子；一个羽毛球掉下来是打不伤人的；然而正是因为要用手去保护头，所以才能把我们的手锻炼得异常灵活，正是因为要保护眼睛，所以才能锻炼我们的眼睛看得准，看得明。从大厅的这边跳到那边，判断那跳在空中的球将落到什么地方，又狠又准地用一只手把球打出去，这些游戏虽不适合于大人玩，但可以用它们来培养孩子们的本领。